Cho hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2}$ có đồ...

B

- Hướng dẫn giải

$y’=x^3-6x$

Gọi $A\left( {{x_0};\frac{1}{4}{x_0}^4 - 3{x_0}^2} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại A. Phương trình tiếp tuyến tại A là đường thẳng (d) có phương trình: $y = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^2$ 

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:

$\begin{array}{l} \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^2 = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2}\\  \Leftrightarrow {\left( {x - {x_0}} \right)^2}\left( {{x^2} + 2{x_0}x + 3x_0^2 - 12} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - {x_0} = 0\\ {x^2} + 2{x_0}x + 3{x_0} - 12 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right. \end{array}$ 

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác A khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác $x_0$

$\left[ \begin{array}{l} {x_0} \ne  \pm \sqrt 2 \\  - \sqrt 6  < {x_0} < \sqrt 6  \end{array} \right.\left( 3 \right)$ 

Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt trong đó:

$\begin{array}{l} {y_1} = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^3;{y_2} = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_2} - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^3\\  \Rightarrow {y_1} - {y_2} = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \end{array}$ 

Từ giả thiết ta suy ra:

$\begin{array}{l} \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \Leftrightarrow x_0^3 - 6{x_0} = 5\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} =  - 1\\ {x_0} = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\ {x_0} = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right. \end{array}$ 

Kết hợp với điều kiện (3) có 2 giá trị $x_0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left[ \begin{array}{l} {x_0} =  - 1\\ {x_0} = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right.$