Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Bất...

C

- Hướng dẫn giải

Xét bất phương trình $f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)$ (*)

Đặt ${e^x} = t(t > 0),$ Với $x \in (0;1) \Rightarrow t \in \left( {{e^0};{e^1}} \right) \Rightarrow t \in (1;e)$ 

Ta được bất phương trình $f\left( t \right) < m\left( {3t + 2019} \right) \Leftrightarrow m > \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}(1)$ (vì $3t + 2019 > 0$ với $t \in (1;e))$ 

Để bất phương trình (*) có nghiệm $x \in (0;1)$ thì bất phương trình (1) có nghiệm $t \in (1;e).$ 

Ta xét hàm $g\left( t \right) = \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}$ trên (1;e)

Ta có $g'\left( t \right) = \frac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}}$ 

Nhận xét rằng đồ thị hàm số $y=f(t)$ có tính chất giống với đồ thị hàm số $y=f(x)$ nên xét trên khoảng (1;e) ta thấy rằng $f(t)<0$ và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến trên (1;e) nên $f'\left( t \right) > 0.$ 

Từ đó $g'\left( t \right) = \frac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}} > 0$ với $t \in (1;e)$ hay hàm số $f(t)$ đồng biến trên (1;e).

Ta có BBT của g(t) trên [1;e]

Từ BBT ta thấy để bất phương trình $m > \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}$ có nghiệm $t \in (1;e)$ thì $m > \mathop {\min }\limits_{[1;e]} g(t) \Leftrightarrow m >  - \frac{2}{{1011}}.$