Đặt \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm lẻ thì $I = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 0$.

Giải chi tiết:

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 + {x^2}}}$ có TXĐ $D = R$.

$\forall x \in R \Rightarrow  - x \in R$.

Ta có $f\left( { - x} \right) = \frac{{\sin \left( { - x} \right)}}{{1 + {{\left( { - x} \right)}^2}}} = \frac{{ - \sin x}}{{1 + {x^2}}} =  - f\left( x \right) \Rightarrow y = f\left( x \right)$ là hàm lẻ $\Rightarrow I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin xdx}}{{1 + {x^2}}}}  = 0$.

Chọn C.