a)      Giải phương trình: \({x^2} + 2x + 2 = 3x\s...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Giải phương trình: \({x^2} + 2x + 2 = 3x\sqrt {x + 1} \)

Điều kiện xác định: \(x \ge  - 1.\)

\({x^2} + 2x + 2 = 3x\sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {x + 1} \right) - 3x\sqrt {x + 1}  = 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\v = \sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow {u^2} - 3uv + 2{v^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {u - 2v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v\\u = 2v\end{array} \right.\\TH1:u = v.\\x = \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 1 = 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\\TH2:u = 2v\\x = 2\sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + 2\sqrt 2 .\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};x = 2 + 2\sqrt 2 .\)

b)     Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác cân.

TH1: Tam giác đều thì \(a = b = c > 0 \Rightarrow \) có 9 số lập được.

TH2: Xét \(a = b \ne c\). Vì \(a + b > c\) (bất đẳng thức tam giác) nên:

+) \(a = b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 2\\c \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \) Không có giá trị nào của c.

\( + )\,\,a = b = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 4\\c \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow \) có 2 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 6\\c \ne 3\end{array} \right. \Rightarrow \) có 4 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 8\\c \ne 4\end{array} \right. \Rightarrow \) có 6 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 10\\c \ne 5\end{array} \right. \Rightarrow \) có 8 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 12\\c \ne 6\end{array} \right. \Rightarrow \) có 8 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 14\\c \ne 7\end{array} \right. \Rightarrow \) có 8 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 18\\c \ne 8\end{array} \right. \Rightarrow \) có 8 cách chọn c.

\( + )\,\,a = b = 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c < 18\\c \ne 9\end{array} \right. \Rightarrow \) có 8 cách chọn c.

Vậy trường hợp này có 52 số thỏa mãn.

Do vai trò của a, b, c như nhau nên: 52. 3 = 156 số.

Vậy có tất cả 9 + 156 = 165 số thỏa mãn.