Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 3x - 4y +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác $IM+MN\ge IN\Leftrightarrow MN\ge IN-R\Rightarrow MN\,\,\min \Leftrightarrow NI\,\,\min$

Giải chi tiết:

Đường tròn (C ) có tâm $I(-1;3)$ và bán kính $R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}-9}=2$.

Ta có: $d(I;d)=\frac{\left| 3.\left( -1 \right)-4.3+5 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2>R$

Suy ra $d$ không cắt (C ).

Ta có $IM+MN\ge IN\Leftrightarrow MN\ge IN-R$  

MN min $\Leftrightarrow$  IN đạt min $\Leftrightarrow$ N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.

Giả sử $N(a;b)$. Vì $N\in d$ nên ta có $3a\text{ - }4b\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0$ (1)

Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên $\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0$. Mà $\overrightarrow{IN}=\left( a+1;b-3 \right),\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 4;3 \right)$. Suy ra ta có: $4(a+1)+3(b-3)=0\Leftrightarrow 4a+3b-5=0$   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b - 5 = 0\\3a - 4b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{5}\\b = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{1}{5};\frac{7}{5}} \right)$

Vì $d(I;d)=2R$ nên $M$ là trung điểm của $IN$. Do đó, tọa độ của $M$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \frac{1}{5}} \right) =  - \frac{2}{5}\\{y_M} = \frac{1}{2}\left( {3 + \frac{7}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right)$

Chọn B.