Câu 2(Vận dụng): Cho $\Delta$...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) + Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn để chứng minh hai tam giác vuông $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ bằng nhau

+Từ hai tam giác vuông bằng nhau ta $\Rightarrow \widehat{BAH}\text{ }=\widehat{CAH}$cặp góc tương ứng bằng nhau, khi đó AH là tia phân giác góc B.

b) + Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn để chứng minh hai tam giác vuông$\Delta$BDH và $\Delta$CEH bằng nhau.

+ Từ hai tam giác vuông bằng nhau ta suy ra hai cạnh tương ứng DH = HE, do đó tam giác  $\Delta$HDE cân tại H.

c) Gọi I là giao điểm của AH và DE, chứng minh $\Delta DIH=\Delta EIH$ (cạnh – góc – cạnh), lập luận để $\Rightarrow AH\bot DE$

Sử dụng định lí từ vuông góc đến song song suy ra DE song song với BC.

d) Chứng minh $\widehat{DHE}={{60}^{0}}$  suy ra  tam giác cân DHE là tam giác đều.

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90{}^\circ$ (gt)

AH cạnh chung

$AB=AC$ ( do tam giác ABC cân tại A)

 $\Rightarrow$ $\Delta$AHB =$\Delta$AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{BAH}\text{ }=\widehat{CAH}$ ( hai góc tương ứng)

Do đó AH là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ (đpcm).

b) Chứng minh $\Delta HDE$ cân:

Xét  $\Delta$BDH và $\Delta$CEH, có:

$\widehat{BDH}=\widehat{CEH}={{90}^{0}}(gt)$

$BH=HC$ (do tam giác ABC cân, AH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến)

$\widehat{HBD}=\widehat{HCE}(gt)$

Vậy $\Delta$BDH=$\Delta$CEH (cạnh huyền - góc nhọn)$\Rightarrow$ DH = HE ( hai cạnh tương ứng)

Do đó $\Delta$HDE cân tại H. (dhnb)

c) Xét $\Delta ADH$ và $\Delta AEH$ ta có: $\left\{ \begin{align}  & AH\ \ chung \\  & DH=HE\left( cmt \right) \\  & \widehat{ADH}=\widehat{AEH}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \Delta ADH=\Delta AEH\ \left( ch-cgv \right).$

$\Rightarrow AD=AE$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại A. (dhnb)

$\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{E}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}$ (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

Xét $\Delta ABC$ cân tại A có: $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}$  (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left( =\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2} \right)$ mà hai góc này ở vị trí so le trong.

$\Rightarrow DE//BC$ (đpcm).

d) Chứng minh: $\Delta HED$ đều

Vì AH là tia phân giác của góc BAC nên  $\widehat{DAH}=\widehat{CAH}=\widehat{BAC}:2=120{}^\circ :2=60{}^\circ$

Xét tam giác vuông ADH:

$\widehat{DHA}={{90}^{0}}-\widehat{DAH}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ$ (hai góc phụ nhau)

Xét tam giác vuông ACH:

$\widehat{EHA}={{90}^{0}}-\widehat{EAH}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow$ $\widehat{DHE}=\widehat{DHA}+\widehat{EHA}={{30}^{0}}+{{30}^{0}}={{60}^{0}}$

Do đó tam giác cân DHE có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều. (dhnb)

Chọn A