Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{alig...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right).$

+) Sử dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số để tính $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ và $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$. Sau đó xác định điều kiện của m.

Giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{align}& \,\,\,\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+4x}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{1+4x}-1 \right)\left( \sqrt{1+4x}+1 \right)}{x\left( \sqrt{1+4x}+1 \right)} \\& =\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+4x-1}{x\left( \sqrt{1+4x}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{\sqrt{1+4x}+1}=\frac{4}{2}=2. \\& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+m \right)=m. \\& f\left( 0 \right)=2.0+m=m. \\\end{align}$

Đề tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ thì $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow m=2$

Chọn B.