Cho \(A\left( {3;\,\,4} \right),\,\,B\left( { - 2;...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $E,\,\,F.$

Xét xem điểm $A,\,\,B$ có nằm cùng phía với $d$ hay không.

TH1: Nếu $A,\,\,B$ nằm cùng phía với $d$ ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm $M.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}$ với  $\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.$

$\Rightarrow A,\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap AB = \left\{ M \right\}.$

TH2: Nếu $A,\,\,B$ nằm khác phía với $d$ ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm $M.$

+) Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B$

$\Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).$

$\Rightarrow A',\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap A'B = \left\{ M \right\}.$