1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:a) \({...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) +) Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt ẩn phụ ${{x}^{2}}=t\ \ \left( t\ge 0 \right)$ sau đó đưa phương trình đã cho về dạng $a{{t}^{2}}+bt+c=0$ và giải phương trình bậc hai ẩn $t.$

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. 2)

+) Thay $x=-1$ vào phương trình đã cho để tìm $m.$

Sau đó thay giá trị $m$ vừa tìm được vào phương trình để tìm nghiệm còn lại của phương trình.

+) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0.$

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..$

+) Dựa vào biểu thức đề bài cho để tìm $m.$

Biến đổi biểu thức: $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right].$

Giải chi tiết:

1/ a) Xét phương trình ${{x}^{4}}+2017{{x}^{2}}-2018=0$(1)

Đặt $t={{x}^{2}}\ge 0$; pt trở thành: ${{t}^{2}}+2017t-2018=0(1)$

Pt (2) có $a+b+c=1+2017+(-2018)=0$nên ${{t}_{1}}=1$(nhận); ${{t}_{2}}=-2018$(loại)

Với $t=1\Rightarrow x=\pm 1$.

Vậy pt (1) có hai nghiệm $x=\pm 1$.

b) Xét hệ pt: 

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y = - 1\\ x - 2y = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + 2y = - 2\\ x - 2y = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = 5\\ x - 2y = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - 3 \end{array} \right.$

Vậy hpt có nghiệm $\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.$.

2/ Xét phương trình: ${{x}^{2}}-2x+m+3=0$

a/ Khi phương trình có nghiệm $x=-1$thì ${{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0\Rightarrow m=-6$

Mà ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=2\Rightarrow$nghiệm còn lại là $x=3$

b/ Ta có ${{\Delta }^{'}}={{(-1)}^{2}}-1.(m+3)=1-m-3=-(m+2)$

Để pt có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$thì ${{\Delta }^{'}}>0$ hay $m+2<0\Leftrightarrow m<-2$

Khi đó, theo Vi – ét: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+3$ Xét $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=8$ $\Rightarrow {{2}^{3}}-3.2(m+3)=8\Rightarrow m=-3<-2$ (thỏa mãn ĐK).

Vậy $m=-3$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$thỏa $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8$

Chọn D