Cho hình chóp  S.ABCD có...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh trung điểm của $SC$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của chóp. Áp dụng định lý Py-ta-go để tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Giải chi tiết:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $ABC$ ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2}.$

Do $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC.$ Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $SAC$ ta có $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}.$

Lấy $H$ là trung điểm của $SC.$ Khi đó do $\Delta SAC$ vuông nên $AH=HS=HC\,\,\left( 1 \right).$

Giả sử $O=AC\cap BD.$ Hạ $HO.$ Khi đó tam giác $\Delta HOB=\,\Delta HOD\,\,\left( c.c.c \right)\Rightarrow HB=HD\,\,\left( 2 \right).$ Ta lại có $\left\{ \begin{array}{l}HO//SA\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HO \bot BD\\HO \bot AC.\end{array} \right.$

Xét tam giác $\Delta HOC,\Delta HOD.$ Ta có $HO$ chung, $OD=OC.$ $\widehat{HOC}=\widehat{HOD}={{90}^{0}}.$ Do đó $\Delta HOC=\Delta HOD\Rightarrow HC=DH\left( 3 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có $SH=HA=HB=HC=HD.$ Vậy $H$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp. Khi đó bán kính là $AH=\frac{1}{2}SC=\frac{\sqrt{6}}{2}.$ Thể tích của mặt cầu là $V=\frac{4}{3}\pi .A{{C}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}^{3}}=\pi \sqrt{6}.$

Chọn đáp án A.