Cho biểu thức : \(~A=\left( \frac{{{x}^{3}}+1}{x{{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để mẫu số có nghiệm (mẫu số khác 0)

+) Phân tích mẫu thành các nhân tử chung.

+) Sử dụng công thức các hằng đẳng thức đáng nhớ và các biến đổi để rút gọn biểu thức.

+) Cho biểu thức A vừa rút gọn được bằng 3, giải phương trình để tìm x, đối chiếu với điều kiện để kết luận giá trị x thỏa mãn.

+) x nguyên để A nguyên thì $Ax\in Z$. Sau đó tìm x để Ax nguyên. Ta phân tích biểu thức Ax về dạng: $Ax=a+\frac{b}{MS}.$

Khi đo$Ax\in Z\Leftrightarrow \frac{b}{MS}\in Z\Leftrightarrow b\,\,\vdots \,\,MS\Leftrightarrow MS\in U\left( b \right).$

Từ đó ta giải phương trình tìm x, sau đó so sánh với ĐKXĐ để kết luận giá trị của x.

Giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: 

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x + \frac{x}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\\\frac{{x\left( {x - 1} \right) + x}}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\\{x^2} - x + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 1\end{array} \right..$

 Rút gọn biểu thức A:

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{x{\,^2} - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}} \right):\left( {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]:\frac{{x\left( {x - 1} \right) + x}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} - \left( {x + 1} \right)} \right):\frac{{{x^2} - x + x}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} - x + 1 - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}:\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} - x + 1 - {x^2} + 1}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{ - x + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}}.\end{array}$

b) ĐKXĐ:

$\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 1\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}A = 3 \Leftrightarrow \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2 - x = 3{x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} + x - 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy  $x = \frac{2}{3}$ thì $A=3$

c) ĐKXĐ: $\left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\ & x\ne \pm 1 \\ \end{align} \right..$

Ta có: $Ax=x.\frac{2-x}{{{x}^{2}}}=\frac{2-x}{x}=-1+\frac{2}{x}.$

Với $x\in Z$ để $A\in Z$ thì $Ax\in Z\Rightarrow \frac{2}{x}\in Z\Rightarrow 2\,\,\vdots \,\,x\Leftrightarrow x\in U\left( 2 \right)\Leftrightarrow x\in \left\{ -2;\,\,2 \right\}$ $\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=2\,\,\,\left( tm \right) \\ & x=-2\,\,\,\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$

Vậy $x=2;\,\,x=-2$ thì A nguyên.

Chọn  A