Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O;R...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh mặt phẳng (P) không cắt đáy $\left( O';R \right)$

+) Tìm phần hình chiếu của mặt phẳng (P) trên mặt đáy. Tính ${{S}_{hc}}$

+) Sử dụng công thức ${{S}_{hc}}=S.\cos 60$

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

$OM=\sqrt{O{{A}^{2}}-{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{3{{R}^{2}}}{4}}=\frac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $\Delta IAB$ cân tại I, do đó $MI\bot AB$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\widehat{IMO}={{60}^{0}}$

Xét tam giác vuông IMO có : $OI=OM.\tan 60=\frac{R\sqrt{3}}{2}<\frac{OO'}{2}=2R$

$\Rightarrow I$ nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.

Vậy hình chiếu của (P) trên $\left( O;R' \right)$ là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và $\Delta OAB$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \widehat{AOB}=\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=\frac{{{R}^{2}}+{{R}^{2}}-3{{R}^{2}}}{2{{R}^{2}}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}={{120}^{0}}$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB.\sin 120=\frac{1}{2}{{R}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}={{R}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}$

Gọi ${{S}_{\overset\frown{OAB}}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow {{S}_{\overset\frown{OAB}}}=\frac{\frac{4\pi }{3}}{2\pi }.\pi {{R}^{2}}=\frac{2}{3}\pi {{R}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{hc}}={{S}_{\overset\frown{OAB}}}+{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{2}{3}\pi {{R}^{2}}+{{R}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :

${{S}_{hc}}=S.\cos 60\Rightarrow S=\frac{{{S}_{hc}}}{\cos 60}=2\left( \frac{2}{3}\pi {{R}^{2}}+{{R}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4} \right)=\left( \frac{4}{3}\pi {{R}^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}{{R}^{2}} \right)=\left( \frac{4}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$

Chọn C.