Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của x làm cho \(\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right) = 0\)

Tìm được nghiệm ta thay các nghiệm của đa thức  vào (1) để tìm tiếp nghiệm. Tìm đủ 5 nghiệm thì dừng lại.

1. Nghiệm của đa thức một biến: Cho đa thức \(P\left( x \right)\). Nếu tại \(x = a\) đa thức \(P\left( x \right)\) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

2. Số nghiệm của đa thức một biến

Một đa thức (khác đa thức không) có thể có \(1;2;3;...;n\) nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

Tổng quát: Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt qua bậc của nó.

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right)\)

Nếu \(f\left( a \right) = 0 \Rightarrow a\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

Vì \(\left( x-1 \right).f\left( x \right)=\left( x+2 \right)f\left( x+3 \right)\) đúng với mọi x.

+) Ta thấy \(x = 1\) thì ta có : 

\(\begin{array}{l}\left( {1 - 1} \right)f\left( 1 \right) = \left( {1 + 2} \right)f\left( {1 + 3} \right)\\0.f\left( 1 \right) = 3.f\left( 4 \right)\\0 = 3.f\left( 4 \right)\\ \Rightarrow f\left( 4 \right) = 0\end{array}\)

\(Hay\,\,\,\,x = 4\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x =  - 2\) ta được :

\(\begin{array}{l}\left( { - 2 - 1} \right).f\left( { - 2} \right) = \left( { - 2 + 2} \right).f\left( { - 2 + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, - 3.f\left( { - 2} \right) = 0\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 0\end{array}\)

\(Hay\,\,\,\,\,x =  - 2\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x = 4\) ta được :

\(\begin{array}{l}\left( {4 - 1} \right).f\left( 4 \right) = \left( {4 + 2} \right).f\left( {4 + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,3.f\left( 4 \right)\,\,\,\,\, = \,6.f\left( 7 \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6f\left( 7 \right)\\ \Rightarrow f\left( 7 \right) = 0\end{array}\)

\(Hay\,\,\,\,x = 7\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x = 7\) ta tìm được \(f\left( {10} \right) = 0\,\,\,\,Hay\,\,\,x = 10\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x = 10\) ta tìm được \(f\left( 13 \right)=0\,\,\,Hay\,\,\,\,x=13\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

Vậy 5 nghiệm của \(f\left( x \right)\) là : \(x\in \left\{ 4;-2;7;10;13 \right\}\)