Cho các góc $\alpha ,\beta$ thỏa mãn \(0 < \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ để tính $\cos \alpha ,\cos \beta$, từ đó tính $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$ bằng công thức cộng.

Giải chi tiết:

Ta có $\sin \alpha  = \frac{1}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{9} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Do $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Ta có $\sin \beta  = \frac{2}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\beta  = \frac{4}{9} \Rightarrow {\cos ^2}\beta  = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Do $\frac{\pi }{2} < \beta  < \pi  \Rightarrow \cos \beta  < 0 \Rightarrow \cos \beta  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Vậy $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta  = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{2}{3} = \frac{{4\sqrt 2  - \sqrt 5 }}{9}$

Chọn C.