Trong mặt phẳng $Oxy$, cho parabol \(\left( P \r...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$ khi phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0.$

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình hoành độ giao điểm: $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..$

Giải chi tiết:

a) 

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình.

${{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0$              (1)

Xét $\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( -\left( m+1 \right) \right)={{m}^{2}}-2m+1+m+1={{m}^{2}}-m+2={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0\ \left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$. Suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$. 

b) 

Vì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=2\left( m-1 \right) \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\left( m+1 \right) \\ \end{align} \right.$

Theo đề bài ta có: ${{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-8=0$. Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\ {x_1} + 3{x_2} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 2\left( {m - 1} \right) - {x_2}\\ 2{x_2} = 8 - 2\left( {m - 1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 3m - 7\\ {x_2} = 5 - m \end{array} \right.$

Mà có: ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {3m - 7} \right)\left( { - m + 5} \right) = - m - 1\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} + 22m - 35 = - m - 1\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} + 23m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {3m - 17} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = \frac{{17}}{3} \end{array} \right.. \end{array}$

Vậy $m=2;m=\frac{17}{3}$ là các giá trị của cần tìm của $m$.

Chọn A