Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0 

Giải chi tiết:

Ta có ${y}'=x-m+\frac{1}{x-1}$.

Để hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}}{2}-mx+\ln \left( x-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$

Thì ${y}'\ge 0$ với $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow x+\frac{1}{x-1}\ge m$ với $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$$\Rightarrow m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x-1}$ trên $\left( 1;+\infty \right),$ có $f\left( x \right)=x-1+\frac{1}{x-1}+1\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right)\frac{1}{\left( x-1 \right)}}+1\ge 3$ $\Rightarrow \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=3$. Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.

Chọn A