Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm.

+) Khi phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

+) Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối, phá trị tuyệt đối, đưa biểu thức P về dạng \(P =  - {f^2}\left( m \right) + A\) (\(A\) là hằng số) và đánh giá.

Giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} - 3m + 1 = 0\) có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2{m^2} + 3m - 1 =  - {m^2} + m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\).

Giả sử phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} - 3m + 1 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} - 3m + 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có : \(P = \left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right| = \left| {2m - 2 + 2{m^2} - 3m + 1} \right| = \left| {2{m^2} - m - 1} \right|\).

\( \Rightarrow P = 2\left| {{m^2} - \dfrac{1}{2}m - \dfrac{1}{2}} \right| = 2\left| {{m^2} - 2m.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{9}{{16}}} \right| = 2\left| {{{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)}^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right|\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}0 \le m \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{4} \le m - \dfrac{1}{4} \le \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{9}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{9}{{16}} \le 0\\ \Rightarrow \left| {{{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)}^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right| = \dfrac{9}{{16}} - {\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \Rightarrow P = 2\left[ {\dfrac{9}{{16}} - {{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)}^2}} \right] = \dfrac{9}{8} - 2{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{9}{8}\end{array}\)

Vậy \({P_{\max }} = \dfrac{9}{8}\).

Chọn C.