Giải phương trình: \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {6x -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa.

+) Thêm bớt sau đó nhân liên hợp để phương trình xuất hiện nhân tử chung, đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: $x \ge \frac{7}{3}$

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\sqrt {x + 1}  + \sqrt {6x - 14}  = {x^2} - 5\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  - 2 + \sqrt {6x - 14}  - 2 = {x^2} - 9\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \frac{{\left( {\sqrt {6x - 14}  - 2} \right)\left( {\sqrt {6x - 14}  + 2} \right)}}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} = (x - 3)(x + 3)\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \frac{{6\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow (x - 3)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} - x - 3} \right) = 0\;\;\;\;\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} - x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\;\;\;\left( {tm} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} = x + 3\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với $x \ge \frac{7}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge \frac{{10}}{3}\\6x - 14 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  + 2 \ge \frac{{6 + \sqrt {30} }}{3}\\\sqrt {6x - 14}  + 2 \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} \le \frac{3}{{6 + \sqrt {30} }} = \frac{{6 - \sqrt {30} }}{2}\\\frac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} \le 3\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow VT\;\left( 1 \right) \le \frac{{12 - \sqrt {30} }}{2} \approx 3,26\\VP\;\;\left( 1 \right) \ge 3 + \frac{7}{3} = \frac{{16}}{3} \approx 5,33\\ \Rightarrow VP > VT\;\;hay\;\;\;\left( 1 \right)\;\;VN.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3.$

Chọn A.