Cho tam giác ABC đều, đường tròn nội tiếp...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ dữ kiện đề bài viết phương trình BC. Tìm tọa độ điểm I là hình chiếu của tâm O trên BC. Lập luận để suy ra mối quan hệ giữa $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {IO}$ từ đó tìm tọa độ điểm A

Giải chi tiết:

Đường tròn $\left( C \right)$ nội tiếp tam giác ABC có phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$

$\Rightarrow$ Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {1;2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5$

Gọi $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right) \ne \overrightarrow 0$ là 1 VTPT của $BC,\,\,\,M\left( {\frac{7}{2};2} \right) \in BC$

$\Rightarrow$ Phương trình BC :

$a\left( {x - \frac{7}{2}} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - \frac{{7a}}{2} - 2b = 0$

Vì đường tròn $\left( C \right)$ nội tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow$ BC tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {O;BC} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b - \frac{{7a}}{2} - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| { - \frac{5}{2}a} \right| = \sqrt {5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}{a^2} = 5{a^2} + 5{b^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4}{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = 4\,\,\,\,\left( {do\,\,\overrightarrow n  = \left( {a,b} \right) \ne \overrightarrow 0 } \right)\end{array}$

TH1: $\frac{a}{b} = 2 \Rightarrow$ Chọn $a = 2;b = 1 \Rightarrow$ Phương trình BC: $2x + y - 9 = 0$ 

Gọi ${\Delta _1}$ là đường trung trực của BC

$\Rightarrow {\Delta _1}$  cũng là đường trung tuyến từ đỉnh A và phân giác góc A ($\Delta ABC$ đều)

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1;2} \right)$ là VTPT của ${\Delta _1};\,\,O\left( {1;2} \right) \in {\Delta _1}$

$\Rightarrow$ Phương trình ${\Delta _1}$ : $- \left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y - 3 = 0$

Gọi $BC \cap {\Delta _1} = \left\{ I \right\} \Rightarrow$ Tọa độ điểm I  là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 9 = 0\\ - x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IO}  = \left( { - 2; - 1} \right)$

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A} - 1;{y_A} - 2} \right)$

Vì $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow {IO}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 =  - 4\\{y_A} - 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 3\\{y_A} = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)$

TH2: $\frac{a}{b} =  - 2 \Rightarrow$ Chọn $a =  - 2;b = 1$ $\Rightarrow$ Phương trình BC: $- 2x + y + 5 = 0$ 

Gọi ${\Delta _2}$ là đường trung trực của BC

$\Rightarrow {\Delta _2}$  cũng là đường trung tuyến từ đỉnh A và phân giác góc A ($\Delta ABC$ đều)

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)$ là VTPT của ${\Delta _2};\,\,O\left( {1;2} \right) \in {\Delta _2}$  

$\Rightarrow$ Phương trình ${\Delta _2}$ : $\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0$

Gọi $BC \cap {\Delta _2} = \left\{ I \right\} \Rightarrow$ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y + 5 = 0\\x + 2y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IO}  = \left( { - 2;1} \right)$

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A} - 1;{y_A} - 2} \right)$

Vì $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow$ O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow {IO}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 =  - 4\\{y_A} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 3\\{y_A} = 4\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;4} \right)$

Vậy có 2 điểm A thỏa mãn yêu cầu đề bài $A\left( { - 3;0} \right)$ và $A\left( { - 3;4} \right).$

Chọn A.