Cho hàm số $y=\frac{x+m}{x-1}$ (m là th...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,\,\left( ad-bc\ne 0 \right)$ luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

TH1: Hàm số đồng biến trên $\left[ 2;4 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(4)$

TH2: Hàm số nghịch biến trên $\left[ 2;4 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(2)$

Giải chi tiết:

Tập  xác định: $D=R\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y'=\frac{1.(-1)-1.m}{{{(x-1)}^{2}}}=\frac{-1-m}{{{(x-1)}^{2}}}$

TH1: $-1-m>0\Leftrightarrow m<-1$:

$y'>0,\,\,\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên (2;4) $\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(4)=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{4+m}{4-1}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow m=-2\,\,(TM)$

 TH2: $-1-m<0\Leftrightarrow m>-1$

$y'<0,\,\,\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow$Hàm số nghịch biến trên (2;4) $\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(2)=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{2+m}{2-1}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}\,\,(Loai)$

Vậy, $m=-2$.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn: C