Cho $a+b+c=2,\,\,a,b,c>0.$ Khi đó giá trị lớ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Thay $a+b+c=2$ vào $Q$ rồi biến đổi để $Q$ có chứa các hạng tử trung bình nhân rồi sử dụng kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Thay $a+b+c=2$ vào $Q$ ta nhận được

$\begin{align} & Q=\sqrt{\left( a+b+c \right)a+bc}+\sqrt{\left( a+b+c \right)b+ac}+\sqrt{\left( a+b+c \right)c+ab} \\  & \,\,\,\,\,=\sqrt{{{a}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{b}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{c}^{2}}+ab+ac+bc}\,\,\left( 1 \right) \\  & \,\,\,\,\,=\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}. \\ \end{align}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ $\left( \sqrt{a+b},\sqrt{a+c} \right)$ ta nhận được $\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( a+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right).$

Chứng minh tương tự ta có  $\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right),$

                                             $\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+c \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 4 \right).$

Cộng vế theo vế $\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ ta nhận được 

$\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le 2\left( a+b+c \right)=4\,\,\left( 5 \right).$

Thay $\left( 5 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta nhận được $Q\le 4.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align} & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\  & \sqrt{a+c}=\sqrt{b+c} \\  & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\  & a+b+c=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}.$

Chọn đáp án D.