Cho $a,\,\,b,\,\,c$ là ba số nguyên khác không v...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ (dùng giả thiết để đưa về kết luận).

Giải chi tiết:

Đặt: ${x^3} = \dfrac{a}{b};{y^3} = \dfrac{b}{c};{z^3} = \dfrac{c}{a}$.

Do $xyz = 1$ nên:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) = 0\end{array}$

Xét: $x + y + z = 0 \Rightarrow x =  - y - z \Rightarrow yz\left( {y + z} \right) =  - 1$

$\Rightarrow \sqrt[3]{{\dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}}.\dfrac{c}{a}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{b}{c}.\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}} =  - 1 \Rightarrow \dfrac{b}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \dfrac{{\sqrt[3]{{abc}}}}{a} =  - 1$.

Đặt: $\sqrt[3]{{abc}} = t \Rightarrow \dfrac{b}{t} + \dfrac{t}{a} =  - 1 \Rightarrow {t^2} + at + ab = 0$

Tương tự:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{t^2} + bt + bc = 0\\ \Rightarrow \left( {{t^2} + at + ab} \right) - \left( {{t^2} + bt + bc} \right) = 0\\ \Rightarrow t\left( {a - b} \right) = b\left( {c - a} \right)\\ \Rightarrow t = \dfrac{{b\left( {c - a} \right)}}{{a - b}}\\ \Rightarrow abc = {\left( {\dfrac{{b\left( {c - a} \right)}}{{a - b}}} \right)^3}\end{array}$

Xét: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz = 0 \Leftrightarrow x = y = z \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$

Hay $ac = {b^2}$. Tương tự $ab = {c^2};bc = {a^2}$

Do đó: $abc = {a^3} = {b^3} = {c^3}$.

Do $a,\,\,b,\,\,c$ là các số nguyên nên thỏa mãn đề bài.

Vậy $\forall \,\,\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 3$ thì tích $abc$ là lập phương của một số nguyên.