Giả sử mọi nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \righ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm của hàm số f(x) đã cho, sau đó suy ra các hệ số A và B.

Giải chi tiết:

$\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}  + \int {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} .$

Tính $\int {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}$. Đặt $t = \sqrt {1 - {x^3}}  \Rightarrow {t^2} = 1 - {x^3} \Leftrightarrow 2tdt =  - 3{x^2}dx$

$\Rightarrow \int {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}  =  - {2 \over 3}\int {dt}  =  - {2 \over 3}t + {C_1} =  - {2 \over 3}\sqrt {1 - {x^3}}  + {C_1} \Rightarrow A =  - {2 \over 3}$

Tính $\int {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx}$. Đặt $t = 1 + \sqrt x  \Rightarrow dt = {1 \over {2\sqrt x }}dx \Rightarrow \int {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx}  = 2\int {{{dt} \over {{t^2}}}}  =  - {2 \over t} + {C_2} =  - {2 \over {1 + \sqrt x }} + {C_2} \Rightarrow B =  - 2$

Suy ra $A + B =  - {8 \over 3}.$

Chọn D.