Cho hàm số bậc hai $y=f\left( x \right)$ có đồ t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định hàm số của parabol (P) : $y=a{{x}^{2}}+bx+c$.

Xác định các đường giới hạn của hình phẳng sinh ra khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.$

Giải chi tiết:

Gọi phương trình hàm số bậc hai là $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị là $\left( P \right).$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy $\left( P \right)$ đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right),\,\,A\left( 1;1 \right),\,\,B\left( 2;0 \right).$

Khi đó, ta có 

$\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 1\\4a + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \,1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = f\left( x \right) = 2x - {x^2}.$

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi .\int\limits_{0}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}=\pi .\int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}\text{d}x}.$

$=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\pi \left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{4}}+\frac{4{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{16\pi }{15}.$

Chọn A.