Cho $\Delta ABC.$ Tìm tập hợp điểm \(M:\;\;\over...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} .$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = k\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right) = k\overrightarrow {BC} \;\;\left( {**} \right)\end{array}$

Xét điểm $I:\;\;\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$ ta có:

$\begin{array}{l}\left( {**} \right) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right) = k\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  + 3\overrightarrow {MI}  = k\overrightarrow {BC} \;\;\;\;\;\;\left( {***} \right)\end{array}$

Xét $O$ là trung điểm của $IG \Rightarrow \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MG}  = 3\overrightarrow {MO} .$ Ta có:

$\left( {***} \right) \Leftrightarrow 6\overrightarrow {MO}  = k\overrightarrow {BC} .$

$\Rightarrow$ Quỹ tích $M$ là đường thẳng $\Delta$ qua $O$ và song song với $BC.$