Với $a,b,c$ là các số dương. Biểu thức \(P=\frac...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp sử dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}$  với $x,y,z>0$.

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}P = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{c + a}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}$  với $x,y,z>0$, ta có: $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{9}{2\left( a+b+c \right)}$

Suy ra $P+3\ge \left( a+b+c \right).\frac{9}{2\left( a+b+c \right)}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Chọn D.