Cho tứ diện $ABCD$có $AB = a\sqrt 6 ,$ tam giá...

C

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

Gọi $BM,\,\,DN$ lần lượt là các đường cao của tam giác $BCD$ $\Rightarrow BM \cap DN = \left\{ H \right\}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BM\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow CD \bot AM$.

$\Rightarrow AM$ là đường cao của tam giác đều $ACD$, do đó $M$ là trung điểm của $CD$.

Gọi $P$ là trung điểm của $AD$, do $\Delta ACD$ đều nên $CP \bot AD$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DN\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADN} \right) \Rightarrow BC \bot AD\\\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\AD \bot CP\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {BCP} \right) \Rightarrow AD \bot NP\end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ADN} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AD\\NP \subset \left( {ADN} \right),\,\,NP \bot AD\,\,\left( {cmt} \right)\\CP \subset \left( {ACD} \right),\,\,CP \bot AD\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {ADN} \right);\left( {ACD} \right)} \right) = \angle \left( {NP;CP} \right) = \angle NPC = {45^0}$.

Ta có: $BC \bot \left( {ADN} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CN \bot NP$ $\Rightarrow NCP$ vuông tại $N$, lại có $\angle NPC = {45^0}\,\,\left( {cmt} \right)$ $\Rightarrow \angle NCP = {45^0}$ hay $\angle BCP = {45^0}$  (1).

Gọi $G = AM \cap CP \Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác đều $ACD$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AD \bot \left( {BCP} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AD \bot BG\\CD \bot \left( {ABM} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot BG\end{array} \right.$ $\Rightarrow BG \bot \left( {ACD} \right)$, mà $G$ là trọng tâm tam giác đều $ACD$ $\Rightarrow BA = BC = BD = a\sqrt 6$.

Ta có $BG \bot \left( {ACD} \right) \Rightarrow BG \bot CG$ $\Rightarrow \Delta BCG$ vuông tại $G$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác $BCG$ vuông cân tại $G$ $\Rightarrow BG = CG = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 3$.

Ta có: $CP = \dfrac{3}{2}CG = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} = AC\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$   đều cạnh $3a$ nên ${S_{\Delta ACD}} = \dfrac{{{{\left( {3a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}BG.{S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .\dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9{a^3}}}{4}$.

Chọn C.