Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-          Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)$.

-          Cô lập m.

Giải chi tiết:

Có $y'=\dfrac{\left( 2x+5 \right)\left( x+3 \right)-\left( {{x}^{2}}+5x+{{m}^{2}}+6 \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+9-{{m}^{2}}}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}$

Hàm số y liên tục trên (1;+∞) $\Rightarrow$ y  đồng biến trên (1;+∞) $\Leftrightarrow$ $y' \ge 0$ với $\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$

    $\Leftrightarrow {m^2} \le {x^2} + 6x + 9\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right).$ (*).

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 6x + 9$ liên tục trên [1;+∞) , có $f'\left( x \right)=2x+6>0\forall x\in \left[ 1;+\infty  \right)$ nên $f\left( x \right) \ge {\rm{ }}f\left( 1 \right) = 16,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right);\,\,\,{\rm{ }}f\left( x \right) = 16 \Leftrightarrow x = 1$.

Do đó  (do m nguyên dương).

Thử lại nếu $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow {m^2} \le 16 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$ $y>0\,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)$ nên y đồng biến trên (1;+∞).

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A.