Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của h...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

+) Sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

+) Đánh giá, sử dụng BĐT Cô-si, chứng minh \(m \le f\left( x \right) \le M\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le x \le 6\).

Ta có \({f^2}\left( x \right) = x + 3 + 6 - x + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)}  = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \)

+) Ta có \(2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)}  \ge 0 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 9 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3\).

    Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\6 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 6\end{array} \right.\).

+) Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \le \dfrac{{3 + x + 6 - x}}{2} = \dfrac{9}{2}\)

    \( \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \le 9 + 2.\dfrac{9}{2} = 18 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 \).

    Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 3 + x = 6 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(3 \le f\left( x \right) \le 3\sqrt 2  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\M = 3\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Chọn B.