Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng qua G cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Khi đó, $\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3$

Thật vậy,  gọi I là trung điểm của BC, qua B, C kẻ các đường thẳng song song MN, cắt đường thẳng AI tại E, F.

Khi đó, $\Delta BIE = \Delta CIF \Rightarrow IE = IF$

Ta có:  $\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AE}}{{AG}} + \frac{{AF}}{{AG}} = \frac{{AE + AF}}{{AG}} = \frac{{2.AI}}{{AG}} = \frac{{2.AI}}{{\frac{2}{3}AI}} = 3\;\;\;\left( {do\;\;IE = IF} \right)$

Giải chi tiết:

Do SABC là tứ diện đều, G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow$Thể tích khối tứ diện SAMN: $V = \frac{1}{3}.SG.{S_{AMN}}$

+)  Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1 $\Rightarrow AJ = \frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.AJ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác SAG vuông tại G $\Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{3}}  = \sqrt {\frac{2}{3}}$

+) Diện tích tam giác AMN: ${S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin A = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM$

Ta có: $\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3$

Mà  $\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow 3 \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {AM.AN} }}{2} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow AM.AN \ge \frac{4}{9}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM \ge \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\\ \Rightarrow {V_{SAMN}} \ge \frac{1}{3}.\sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $AM = AN = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \left( {{V_{SAMN}}} \right)\min  = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}$ khi và chỉ khi $AM = AN = \frac{2}{3}$ hay MN là đường thẳng qua G song song với BC

Chọn: A