Cho mặt cầu $\left( S \right)$ bán kính \(R=5\,\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định vị trí điểm để thể tích lớn nhất 

Giải chi tiết:

Gọi $E$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$$\Rightarrow$

Bán kính của $\left( C \right)$ là $r=\frac{C}{2\pi }=4$

Mà $\left( C \right)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta \,ABC$$\Rightarrow \,\,AB=\frac{3r}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\Rightarrow \,\,{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}.$

Để ${{V}_{ABCD}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow$ $E$ là hình chiếu của $D$ trên $mp\,\,\left( ABCD \right),$ tức là $IE\cap \left( S \right)=D.$

Với $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$$\Rightarrow \,\,DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8.$

Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}\,\,c{{m}^{3}}.$

Chọn A