Cho phương trình \(\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức của hàm logarit để biến đổi phương trình. Sau đó xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết:

Điều kiện: $x>0$ hoặc $-2<x<-\frac{1}{2}$

$\begin{align}  & PT\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)+x+3={{\log }_{2}}\frac{2x+1}{x}+{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x+2} \\  & \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{x+2}+x+2+1-2\sqrt{x+2}={{\log }_{2}}\left( 2+\frac{1}{x} \right)+1+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{x+2}+{{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}}-2\sqrt{x+2}={{\log }_{2}}\left( 2+\frac{1}{x} \right)+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{x+2}+{{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}}-2\sqrt{x+2}={{\log }_{2}}\left( 2+\frac{1}{x} \right)+{{\left( 2+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2\left( 2+\frac{1}{x} \right)\ \ \ \left( * \right) \\ \end{align}$

Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{t}^{2}}-2\sqrt{t}\ \ \ \left( t>2 \right).$

Ta có: $f'\left( t \right)=\frac{1}{t.\ln 2}+2t-\frac{1}{\sqrt{t}}>0\ \ \forall t>2\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left( 2;+\infty  \right)$ 

Mà theo (*) ta có: $f\left( \sqrt{x+2} \right)=f\left( 2+\frac{1}{x} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = 2 + \frac{1}{x}\\ \Leftrightarrow x + 2 = 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - 4{x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\ x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\;\;\;\left( {tm} \right)\\ x = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\;\;\left( {ktm} \right) \end{array} \right..\\ \Rightarrow S = - 1 + \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \end{array}$

Chọn A.