Cho hàm số$y = f(x)$. Đồ thị của hàm số \(y = f'...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên để so sánh g(1) với hai giá trị còn lại, sau đó dùng công thức tích phân để so sánh 2 giá trị còn lại

Giải chi tiết:

Vì $g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {\left( {x + 1} \right)^2} \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) + 2\left( {x + 1} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)} \right]$

Vẽ đường thẳng y = –x – 1, dựa vào vị trí tương đối của đường thẳng này với đồ thị hàm số y = f’(x) ta có bảng biến thiên sau:

Căn cứ bảng biến thiên ta có g(1) < g(–3) và g(1) < g(3)

So sánh g(–3) và g(3): Xét hai tích phân sau:

${S_1} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ { - f'\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right]dx}  =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\left[ {g\left( { - 3} \right) - g\left( 1 \right)} \right]$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f’(x), đường thẳng y = –x – 1 và 2 đường thẳng  x = –3; x = 1

${S_2} = \int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)} \right]dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) - g\left( 1 \right)} \right]$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f’(x), đường thẳng y = –x – 1 và 2 đường thẳng  x = 1; x = 3

Dựa trên đồ thị ta thấy S₁> S₂ nên g(–3) – g(1) >g(3) – g(1)⇒ g(–3) > g(3)

Vậy g(1) < g(3) < g(–3)

Chọn A.