Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,\) đường tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh hai tam giác \(ABM\) và \(HCD\) đồng dạng, từ đó tính \(HC\) theo \(HD\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(MCD\), tính \(MH\) theo \(\).

- Từ đó tính \(AM,\,\,MC\) theo \(HD\) và tính \(AH\) theo \(HD\).

Giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABM\)và tam giác \(HCD\) ta có:

+ \(\widehat {BAM} = \widehat {DHC} = {90^0}\) (gt)

            + \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABM} = {90^0} - \widehat {BMA}\\\widehat {HCD} = {90^0} - \widehat {DMC}\\\widehat {BMA} = \widehat {DMC}\,\,\,\left( {dd} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {HCD}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta HCD\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HC}} = \dfrac{{AM}}{{HD}} \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HD}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} = 2 \Rightarrow HC = 2HD.\end{array}\)

Xét tam giác \(MCD\)vuông tại \(D\), đường cao \(DH\) ta có:

\(H{D^2} = MH.HC = MH.2HD\)  (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MH = 0,5HD\\ \Rightarrow AM = MC = MH + HC = 0,5HD + 2HD = 2,5HD\\ \Rightarrow AH = AM + MH = 2,5HD + 0,5HD = 3HD.\end{array}\)