Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.

Giải chi tiết:

Ta có : $y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 3} \right)x + 18m$.

Để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 18mx - 8 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\6{x^2} - 6\left( {m + 3} \right) + 18m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 3m = 0$ có $\Delta  = {\left( {m + 3} \right)^2} - 12m = {\left( {m - 3} \right)^2}$, do đó phương trình (2) có 2 nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 3\end{array} \right.$

+) Với $x = 3$ ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 54 - 27\left( {m + 3} \right) + 54m - 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{35}}{{27}}$.

+) Với $x = m$ ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{m^3} - 3{m^3} - 9{m^2} + 18{m^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow  - 3{m^3} + 9{m^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4 \pm 2\sqrt 6 \end{array} \right.$.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = 1$.

Chọn B.