Cho đường thẳng \(d:\,\,2x + y - 5 = 0\) và điểm \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy \(M \notin d.\)

+) Gọi \(H\left( {a;\,\,b} \right)\) là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(d.\)

+) Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc với \(d.\)

+) Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta  \Rightarrow I\)  là trung điểm của \(HM.\)

Giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có:  \(2.1 + 2 - 5 =  - 1 \ne 0 \Rightarrow M \notin d.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;\,\,1} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \Delta :\,\,\,x - 1 - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

Gọi \(H\left( {a;\,\,b} \right)\) là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(d.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta  \Rightarrow \)  Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 = 0\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{5};\,\,\frac{{11}}{5}} \right)\)

\(H\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(d \Rightarrow I\) là trung điểm của\(HM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 2.\frac{7}{5} - 1 = \frac{9}{5}\\{y_H} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{9}{5};\,\,\frac{{12}}{5}} \right).\)

Chọn  A.