Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({{\log }_...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó sử dụng phương pháp thể và khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải chi tiết:

Lời giải:

Ta có ${{\log }_{3}}\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+y+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+y \right)=3\left( x+y \right)-\left( 2x+y+1 \right)+1$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+y+1 \right)+2x+y+1={{\log }_{3}}\left( 3\left( x+y \right) \right)+3\left( x+y \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\,\infty  \right)\,\,\Rightarrow \,\,f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\,\infty  \right).$

Mà $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2x+y+1 \right)=f\left( 3x+3y \right)\Leftrightarrow 2x+y+1=3x+3y\Leftrightarrow x+2y=1.$

Đặt $a=\sqrt{y}>0\Leftrightarrow y={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=1-2y=1-2{{a}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}$

Khi đó $T=g\left( a \right)=\frac{1}{1-2{{a}^{2}}}+\frac{2}{a}.$

Xét hàm số $g\left( a \right)=\frac{1}{1-2{{a}^{2}}}+\frac{2}{a}$ trên khoảng $\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right),$ có ${g}'\left( a \right)=-\frac{2\left( 2a-1 \right)\left( 2{{a}^{3}}-2a-1 \right)}{{{a}^{2}}{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}.$

Xét $h\left( a \right)=2{{a}^{3}}-2a-1$ trên $\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ có

 $h'\left( a \right)=6{{a}^{2}}-2=2\left( 3{{a}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow h'\left( a \right)<0,\forall a\in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\supset \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Do đó $h\left( a \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ $\Rightarrow h\left( a \right)<h\left( 0 \right)=-1<0,\forall a\in \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ nên phương trình $h\left( a \right)=0$ vô nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.

Phương trình ${g}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}.$ Tính các giá trị $g\left( \frac{1}{2} \right)=6;\,\,\underset{a\,\to \,0}{\mathop{\lim }}\,g\left( a \right)=+\,\infty ;\,\,\underset{a\,\to \,\frac{1}{\sqrt{2}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( a \right)=+\,\infty$

Suy ra $\underset{\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( a \right)=g\left( \frac{1}{2} \right)=6.$ Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là ${{T}_{\min }}=6.$

Chọn D