Cho hàm số $y=-\frac{x}{2x+1}$ có đồ thị là \(\l...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm, xác định tổng hệ số góc của tiếp tuyến và tìm giá trị lớn nhất.

+) Gọi $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)$ là một điểm thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right).$ Khi đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại M có hệ số góc là : $k=f'\left( {{x}_{0}} \right).$

Giải chi tiết:

Điều kiện : $x\ne -\frac{1}{2}.$

Ta có : $y=-\frac{x}{2x+1}\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}.$

Hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là nghiệm phương trình: $-\frac{x}{2x+1}=x+m$

$\begin{align}  & \Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)\left( x+m \right)+x=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m=0\ \ \ \left( * \right) \\\end{align}$  

Có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2m={{m}^{2}}+1>0,\,\,\forall m$ suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt.

Gọi $A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right)$ là hai giao điểm của hai đồ thị  $\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là nghiệm của $\left( * \right).$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{2} \\\end{align} \right..$

Khi đó tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B là :

 $\begin{align}  & {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=-\frac{\left( {{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}} \\ & =-\frac{4\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}}=-\frac{4{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-8.\frac{m}{2}-4\left( m+1 \right)+2}{{{\left( 4.\frac{m}{2}-2\left( m+1 \right)+1 \right)}^{2}}}=\frac{4{{m}^{2}}+8m+4-4m-4m-4+2}{{{\left( 2m-2m-2+1 \right)}^{2}}} \\ & =-\left( 4{{m}^{2}}+2 \right)=-\,4{{m}^{2}}-2. \\\end{align}$

Khi đó ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}=-\,4{{m}^{2}}-2\le -\,2$ vì ${{m}^{2}}\ge 0.$ Vậy ${{\left\{ {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow m=0.$

Chọn B