Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị như hìn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ${e^x} = t\left( {t > 0} \right)$. Ta đưa bất phương trình đã cho thánh bất phương trình ẩn $t$, từ đó lập luận để có phương trình ẩn $t$ có nghiệm thuộc $\left( {1;e} \right).$

Ta chú ý rằng hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = f\left( t \right)$ có tính chất giống nhau nên từ đồ thị hàm số đã cho ta suy ra tính chất hàm $f\left( t \right).$

Sử dụng phương pháp hàm số để tìm $m$ sao cho bất phương trình có nghiệm.

Bất phương trình $m > f\left( X \right)$ có nghiệm trân $\left( {a;b} \right)$ khi $m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} \,f\left( X \right)$

Giải chi tiết:

Xét bất phương trình $f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)$ (*)

Đặt ${e^x} = t\left( {t > 0} \right)$. Với $x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {{e^0};{e^1}} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;e} \right)$

Ta được bất phương trình $f\left( t \right) < m\left( {3t + 2019} \right) \Leftrightarrow m > \dfrac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}$ (1) (vì $3t + 2019 > 0$ với $t \in \left( {1;e} \right)$)

Để bất phương trình (*) có nghiệm $x \in \left( {0;1} \right)$ thì bất phương trình (1) có nghiệm $t \in \left( {1;e} \right)$.

Ta xét hàm $g\left( t \right) = \dfrac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}$  trên $\left( {1;e} \right)$

Ta có $g'\left( t \right) = \dfrac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}}$

Nhận xét rằng đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$có tính chất giống với đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nên xét trên khoảng $\left( {1;e} \right)$  ta thấy rằng $f\left( t \right) < 0$ và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến trên $\left( {1;e} \right)$  nên $f'\left( t \right) > 0$.

Từ đó $g'\left( t \right) = \dfrac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}} > 0$ với $t \in \left( {1;e} \right)$  hay hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {1;e} \right)$

Từ BBT ta thấy để bất phương trình $m > \dfrac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}$  có nghiệm $t \in \left( {1;e} \right)$ thì $m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;e} \right]} g\left( t \right) \Leftrightarrow m >  - \dfrac{2}{{1011}}.$

Chọn C.