1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y =  - \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) a) Hai đường thẳng $y = {a_1}x + {b_1}$ và $y = {a_1}x + {b_2}$ song song với nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..$ Từ đó ta tìm giá trị của $m.$

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right).$ Từ đó tìm tọa độ giao điểm.

+) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng A qua Ox $\Rightarrow NA = NA'$

+) $NA + NB = NA' + NB$ đạt GTNN $\Leftrightarrow N = A'B \cap Ox$. Tìm tọa độ điểm N.

2) a) Thay $a = 1$ vào hệ phương trình, sau đó giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

b) Giải hệ phương trình, tìm nghiệm $\left( {x;\;y} \right)$ theo $a.$

+) Dựa vào điều kiện của bài toán để tìm $a.$

Giải chi tiết:

1) Cho đường thẳng $\left( d \right):\;\;y =  - \frac{1}{2}x + 2.$

a) Tìm $m$ để đường thẳng $\left( \Delta  \right):\;y = \left( {m - 1} \right)x + 1$ song song với đường thẳng $\left( d \right).$

Đường thẳng $\left( d \right)//\left( \Delta  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 =  - \frac{1}{2}\\1 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.$

Vậy $m = \frac{1}{2}.$

b) Gọi $A,\;B$ là giao điểm của $\left( d \right)$ với parabol $\left( P \right):\;\;y = \frac{1}{4}{x^2}.$ Tìm tọa độ điểm $N$ nằm trên trục hoành sao cho $NA + NB$ nhỏ nhất.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}{x^2} =  - \frac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\;\;\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {2;\;1} \right)\\x =  - 4 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left( { - 4;\;4} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Khi đó $A\left( {2;\;1} \right),\;\;B\left( { - 4;\;4} \right)$   là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox thì $A'\left( {2; - 1} \right)$

Khi đó ta có: $NA = NA'$ nên $NA + NB\,\,\min  \Leftrightarrow NA' + NB\,\,\min$

Mà A’, B nằm khác phía với trục Ox

Nên để NA’ + NB min thì A’, B, N thẳng hàng.

Từ đó suy ra điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng A’B với trục hoành: $N\left( {n;0} \right)$

Gọi phương trình đường thẳng (d’) đi qua hai điểm A’, B là: $y = ax + b$

Do A’, B thuộc đường thẳng (d’) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2a + b =  - 1\\ - 4a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{5}{6}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right.$

Ta có phương trình đường thẳng (d’) là: $y =  - \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}$

Khi đó điểm N thuộc đường thẳng d’ và $N\left( {\frac{4}{5};0} \right)$

Vậy khi $N\left( {\frac{4}{5};0} \right)$ thì ${\left( {NA + NB} \right)_{\min }} = A'B = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {61}$.

2) 

a) Giải hệ phương trình (I) khi $a = 1.$

Thay $a = 1$ vào hệ phương trình ta được:

$\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 4\\x = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 3 - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..$

Vậy với $a = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).$

b) Tìm $a$ để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất $\left( {x;\;y} \right)$ thỏa mãn $\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}}$ là số nguyên.

+) Với $a = 0$ ta có: $\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với $a \ne 0:$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{1}{{ - a}} \ne \frac{a}{1}\;\;\left( {a \ne 0} \right)$

$\Leftrightarrow  - {a^2} \ne 1$ (luôn đúng).

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a.$

Ta có: $\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\ - a\left( {3a - ay} \right) + y = 2 - {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\ - 3{a^2} + {a^2}y + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\y\left( {{a^2} + 1} \right) = 2 + 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\y = \frac{{2{a^2} + 2}}{{{a^2} + 1}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - 2a = a\\y = 2\end{array} \right..$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;\;y} \right) = \left( {a;\;2} \right).$

Ta có: $\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{2.2}}{{{a^2} + 3}} = \frac{4}{{{a^2} + 3}}.$

$\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}} \in Z \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2} + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 3} \right) \in U\left( 4 \right)$

Mà $U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\; \pm 2;\; \pm 4} \right\}.$

Lại có: ${a^2} + 3 \ge 3\;\;\forall \;a \Rightarrow {a^2} + 3 = 4 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 1\end{array} \right..$

Vậy $a =  \pm 1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.