Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sq...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:  Điều kiện $x,y\ge 0$

Phân tích hệ phương trình đã cho thành $\left\{ \begin{align} & \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=30 \\  & {{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{3}}-3\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=35 \\ \end{align} \right.$

Thay dữ kiện từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta biến đối thành dạng phương trình tổng tích tìm nghiệm $(x;y)$

Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ đạt được khi $x$ lớn nhất và $y$ nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

Cách làm:

Điều kiện $x,y\ge 0$

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 30\\{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^3} - 3\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 30\\{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^3} = 125\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} = 6\\\sqrt x + \sqrt y = 5\end{array} \right.$

Suy ra $\sqrt{x};\sqrt{y}$ là nghiệm không âm của phương trình ${{T}^{2}}-5T+6=0$ 

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 2\\\sqrt y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 3\\\sqrt y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow A = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow A = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\max A=2$

Chọn B.