Tính tổng các giá trị của \(m\) để tập nghiệm của...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)\left[ {a{x^2} + b'x + c'} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right) = 0\)

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} = 0\\\frac{{ - b'}}{{2a}} \ne {x_0}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( {{x_0}} \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - 3mx + 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + {x^3} - {x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + {x^3} - 2{x^2} + {x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + {x^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {mx - m + {x^2} + x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 2 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Tập nghiệm của \(\left( 1 \right)\) có đúng hai giá trị \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm kép \( \ne 2\) hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \(x = 2.\)

TH1: Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép khác \(2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\f\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} + 4\left( {m - 2} \right) = 0\\4 + 2\left( {m + 1} \right) - m + 2 \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 + 4m - 8 = 0\\4 + 2m + 2 - m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 6m - 7 = 0\\m \ne  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 7\end{array} \right.\\m \ne  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 7\end{array} \right..\)

 TH2: Phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 6m - 7 > 0\\m =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 7\end{array} \right.\\m =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 8.\)

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán  là \( - 8 + \left( { - 7} \right) + 1 =  - 14.\)

Chọn B.