Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên thuộc khoảng \(\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, từ đó suy ra điều kiện để bài toán thỏa.

Giải chi tiết:

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)}  - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt {1 - \frac{m}{x}}  - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}}  - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1$ hay $y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)}  - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{m}{x}}  - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{m}{x}}  - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} =  - 1$ hay $y =  - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó bài toán thỏa $\Leftrightarrow$ đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng.

Ta lại có: $y = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)}  - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{{x^2} - mx - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {x\left( {x - m} \right)}  + 1} \right)}}$.

Để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường TCĐ thì $x =  - 2$ không là nghiệm của tử và $x =  - 2$ thuộc tập xác định của hàm số.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( { - 2 - m} \right) \ge 0\\{\left( { - 2} \right)^2} - m.\left( { - 2} \right) - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 2\\2m + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 2\\m \ne  - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Do $m \in \left( { - 10;10} \right),m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;...;8;9} \right\}$ và có $12$ giá trị thỏa mãn.

Chọn A.