Quay hình phẳng \(\left( H \right) = \left\{ {y =...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Xác định các hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số \(y = x - 3;y = \sqrt {x - 1} \) với trục hoành, xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x - 1} ;y = x - 3\)

+ Vẽ các đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x - 1} ;y = x - 3\) trên cùng hệ tọa độ

+ Thể tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right);x = a;x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

+ Xét các phương trình giao điểm \(\sqrt {x - 1}  = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ; \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

\(\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\left( L \right)\\x = 5\left( tm \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 5\)

+ Thể tích hình phẳng cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}} dx + \pi \int\limits_3^5 {\left| {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2} - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right|dx} \)

                                                         \( = \left. {\pi \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}} \right|_1^3 + \pi \left. {\left( {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2} - \dfrac{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}{3}} \right)} \right|_3^5\)\( = \dfrac{{16\pi }}{3}\)

Chọn B.