Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \fra...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \frac{\pi }{4} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} - t \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} t = 0\)  

Ta quy bài toán về tính giới hạn của hàm ẩn \(t\) khi \(t \to 0.\)

Giải chi tiết:

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \tan 2x\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

Đặt \(t = \frac{\pi }{4} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} - t \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} t = 0\)   ta có:

\(\begin{array}{l}\tan 2x.\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \tan 2\left( {\frac{\pi }{4} - t} \right)\tan t = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2t} \right)\tan t\\ = \cot 2t\tan t = \frac{{\cos 2t}}{{\sin 2t}}.\frac{{\sin t}}{{\cos t}} = \frac{{\cos 2t}}{{2\sin t\cos t}}.\frac{{\sin t}}{{\cos t}} = \frac{{\cos 2t}}{{2{{\cos }^2}t}}\\ \Rightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\cos 2t}}{{2{{\cos }^2}t}} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn C