Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết:

Ta dễ dàng chứng minh được $DM\bot CN.$

Kết hợp với $DM\bot SH,$ suy ra $DM\bot \left( SHC \right).$

Hạ $HK\bot SC\,\,\,\left( K\in SC \right)$ suy ra $HK$ là đoạn vuông góc chung của $DM$ và $SC.$ Do đó khoảng cách $d\left( DM;SC \right)=HK.$

Ta có : $CN=\sqrt{C{{D}^{2}}+D{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có $HC=\frac{C{{D}^{2}}}{CN}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$ và $HK=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{3}\,a}{\sqrt{19}}.$

Vậy khoảng cách cần tính là $d\left( DM;SC \right)=\frac{2\sqrt{3}\,a}{\sqrt{19}}.$

Chọn C.