Cho tam giác \(ABC\) đều. Trên cạnh \(AB,\,\,AC\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Kẻ \(NH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\). Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(AH,\,\,NH\) theo \(AN\).

- Từ đó tính được \(MH\) theo \(AN\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông để biến đổi và chứng minh được đẳng thức.

Giải chi tiết:

Kẻ \(NH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}AH = AN.\cos A = AN.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}AN\\NH = AN.\sin A = AN.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AN.\end{array}\)

Khi đó: \(MH = AM - AH = AM - \dfrac{1}{2}AN.\)

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(MNH\) vuông tại \(H:\)

\(\begin{array}{l}M{N^2} = M{H^2} + N{H^2} = {\left( {AM - \dfrac{1}{2}AN} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AN} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A{M^2} - 2.AM.\dfrac{1}{2}AN + \dfrac{1}{4}A{N^2} + \dfrac{3}{4}A{N^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} - AM.AN.\)