Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hàm số $f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}$ tìm GTNN $\min f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;3 \right]$.

Bất phương trình $f\left( x \right)\ge m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -1;3 \right]$ nếu $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m$.

Giải chi tiết:

$f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}$

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{1+x}}-\frac{3}{2\sqrt{3-x}}-\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0$

$\Leftrightarrow \frac{12\left( 1-x \right)}{\sqrt{3-x}\sqrt{x+1}}+\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0$

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm duy nhất x = 1.

Lại có $f(1)=6\sqrt{2}-4,f(-1)=f(3)=6,$ do đó hàm số đạt cực tiểu tại x  = 1.

Từ đây ta suy ra với $m\le 6\sqrt{2}-4$ thì bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -1;3 \right]$

Đáp án A