Cho phương trình \(\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương bài toán về tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Sử dụng định lý Vi – ét  biến đổi biểu thức theo ${x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}$. Từ đó tìm điều kiện của tham số m.

Giải chi tiết:

$\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1 = 0\end{array} \right.$

Phương trình $\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1}}{{x + 1}} = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác -1 khi và chỉ khi thỏa mãn hệ điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\Delta'} = {m^2} - (m - 1)(m + 1) > 0\\(m - 1).{( - 1)^2} - 2m.( - 1) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\1 > 0\\4m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 0\end{array} \right.$

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 1}}\,\,\,.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{5}{2} = 0\\\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)}^2}}}{{\frac{{m + 1}}{{m - 1}}}} + \frac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4{m^2}}}{{{m^2} - 2m + 1}} + \frac{1}{2}.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} = 0 \Leftrightarrow 8{m^2} + {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{3}\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}$

Chọn C.