Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $y= 2x^{3}-3(2m+1)x^{2}+6m(m+1)x+1$ Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $\dpi{100} (2;+\infty )$

A m>1

B m<1

C $\dpi{100} m\geq 1$

D $\dpi{80} m\leq 1$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

TXĐ D=R

$\dpi{100} y'=6x^{2}-6(2m+1)x+6m(m+1)$

TH1: Hàm số đồng biến trên R, $\dpi{100} \forall x\in R$

<=> $\dpi{100} y'\geq 0 , \forall x\in R$ $\dpi{100} \forall x\in R$ $\dpi{100} \forall x\in R$ với mọi x thuộc R

<=> $\dpi{100} 6x^{2}-6(2m+1)x+6m(m+1)\geq 0, \forall x\in R$ $\dpi{100} \forall x\in R$ $\dpi{100} \forall x\in R$ với mọi x thuộc R

<=> $\dpi{100} x^{2}-(2m+1)x+m(m+1)$ $\dpi{100} \geq 0,\forall x\in R$ $\dpi{100} \forall x\in R$ $\dpi{100} \forall x\in R$ với mọi x thuộc R ( 0,5đ)

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} a>0 & \\ \Delta \leq 0 & \end{matrix}\right.$ ( gt nghĩa là >)

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} a=1>0 & \\ \Delta =(2m+1)^{2}-4.1.m.(m+1)\leq 0 & \end{matrix}\right.$ (0,5đ)

$\dpi{80} 4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m\leq 0$

<=> $\dpi{100} 1\leq 0$ ( vô lý) => không xảy ra trường hợp này (o,5đ)

TH2: phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

<=> $\dpi{100} x^{2}-(2m+1)x+m(m+1)$ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

<=> $\dpi{100} \begin{Bmatrix} a\neq 0 & \\ \Delta >0 & \end{Bmatrix}$ <=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} a=1\neq 0 & \\ \Delta =(2m+1)^{^{2}}-4.1.m.(m+1)>0 & \end{matrix}\right.$ (o,5đ)

$\dpi{100} 4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m$ $\dpi{100} >$ 0

<=> 1>0 ( luôn đúng)

=> với mọi m phương trình y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt (o,5đ)

Có y'=0<=> $\dpi{100} x^{2}-(2m+1)x+m(m+1)$ = 0

<=> $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} x=m\\ x=m+1\end{matrix}$ ( 0,25đ)

Bảng xét dấu của y':

(o,25đ)

Hàm số đồng biến trên $\dpi{100} (2;+\infty )$ <=> m+1 $\dpi{80} \leq$ 2

<=> $\dpi{80} m\leq 1$

KL: vậy $\dpi{80} m\leq 1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\dpi{100} (2;+\infty )$ (0,25đ)

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Tính đơn điệu của hàm số - Có video chữa

↑

Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

Câu hỏi: Cho hàm số $y= 2x^{3}-3(2m+1)x^{2}+6m(m+1)x+1$ Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $\dpi{100} (2;+\infty )$